欧拉恒等式的另一种解释

欧拉恒等式的另一种解释

本文核心词：圆周率,几何,长知识,复数,欧拉恒等式
欧拉恒等式想必大家也都知道，就是

，先来吹一下这个式子，所谓大道至简，欧拉恒等式就是这样一个式子，它将数学两个最重要的五个常数π、e、i、1、0完美地联系在了一起，不愧是数学中最美的式子！
欧拉恒等式的证明想必大家都知道，这里就不再多说了，今天我想讲的是大家应该少见过的证明版本。
1.e
先来搞清楚e是什么，e的定义是

那是什么呢？按照定义，有：

2.i
我是不知道为何高中对复数的要求那么低，复数本身是非常好用而且非常强大的工具在各个学科中应用也十分广泛，我觉得高中应当加大对复数的要求。
i 的定义是 i²=－1,每一个复数z=a bi(其中a、b∈R)都对应复平面上的一个点(如
图)，

其幅角为

，模长为

,复数乘法的计算方法是

例如：

在复平面这三个复数显示如图

事实上，复数乘法有一个极好的几何意义，即复数z₁乘以z₂，在复平面上将z₁绕原点顺时针旋转θ角（其中θ为z₂的幅角），再将它的模长变为原来的|z₂|倍，就得到了结果复数所表示的点，例如上图，计算(1 i)(3 2i)，就是在复平面上将(1 i)绕原点顺时针旋转θ角（其中θ为(3 2i)的幅角），再将它的模长变为原来的|3 2i|=√ 13倍，就得到了结果复数所表示的点。
是不是觉得很神奇？那么现在换一种说法，有利于下面的继续说明。如图，计算(1 i)(3 2i)，就是在复平面上将(1 i)表示的点与1和0 表示的点所围成的三角形OIA绕原点顺时针旋转，使得OI与OB在同一条线上，得到三角形OI’A’，再将三角形OI’A’以原点为中心放大（或缩小），使得三角形OBA”，A”点表示的复数就是所得的结果。

3.e^(πi) 1=0
由1，有

,那我们就先来看这个式子

这个式子就是(1 iπ/n)自乘n次，按照上面的复数乘法的几何意义，就是这样的n个

三角形（图上A为坐标原点，AB为Re 轴），当n趋向于无穷，最后一个三角形的顶点所表示的复数就是这个式子的结果，那我们来看看n越来越大时结果如何
【视频】
如视频可见，n越来越大时，最后的端点越来越趋向于-1表示的点。
等等，这是为什么呢？
4.解释
当n逐渐增大时，第一个三角形最外面的顶点越来越接近圆弧，最外的弧线越来越趋近于圆弧，三角形也越来越接近于一个等腰三角形（学过微元法的人应该好理解些），但是为什么正好是-1表示的点呢?再看一遍这个式子

π可知每个三角形中A所对应的边长度越来越趋近于π/n，所以n趋向于无穷时，最外面的所有n个边长和为π/n·n=π，而在圆上半圆的长度正好就是π了，这样就证明了 e^(πi) 1=0。
6.总结
这个证明其实吧说实话并不是特别严谨，但是提供了一个新的角度看待这个问题,希望大家喜欢。