有趣的缺8数

有趣的缺8数

本文核心词：数学,科普,巧算

再给大家介绍这个有趣的数字之前，我们先来看一道计算题：
用简便方法计算：12345679×81×245
这个题乍一看数字非常大，且数字毫无规律可言，怎么计算呢？
这时候，一个很有意思的数字出现了——12345679。这个数字就是今天我们要介绍的主角“缺8数”。
缺8数，是指在自然数012345679中没有8，所以被称为“缺8数”
缺8数有一个最神奇的特性就是，它乘以小于等于81的9的倍数，都会得到相同数字的一个九位数，这个特性我们称为“清一色”，例如：

缺8数与≥81的9的倍数的乘积
那么，我们回到上面的那道计算题：

当然，除了这个神奇的特性外，我们发现，缺8数乘以3的倍数（但不是9的倍数，且小于81）的数，得到的结果呈现3组数字重复的形式，这个特性，我们称为“三位一体”，如：
12345679×15=185185185
12345679×24=296296296
12345679×69=851851851
12345679× 3=(0)37037037
找到这个规律，我们再来看一道计算题：
12345679×75
我们其实只需要计算出乘积的后三位数就能直接写出结果，所以我们只需要计算：79×75=5925
因为12345679×81=999999999。所以，这个式子的乘积一定是9位数。所以我们可以直接写出得数：925925925。
那么，这个缺8数还有什么性质呢？
我们刚才分别说了在小于等于81的范围内，乘数为9的倍数和3的倍数的性质。那么其他乘数又是什么特性呢？我们列举一下：

缺8数与乘数为3或9倍数（≥81）的部分乘积
首先，我们发现当缺8数乘以一个不是3或9倍数的数时，乘积的各位数字均不相同，但总是缺一个数字。而且缺的数字是呈现周期性的：8-7-5-4-2-1，就好像工厂轮休一样，比如我们继续往后写，缺8数乘以19，一定是缺8，乘以20，一定是缺7，乘以22一定是缺5，以此类推。
那么乘数之间有什么关系呢？对比上面两组式子，我们发现当缺少相同的数时，乘数之间相差为9的倍数。比如乘积缺少8的乘数可以为1,10,19,28……
10-1=9,
19-1=9×2
28-1=9×3
所以，发现了吗？下一个乘积缺少8的乘数一定是37。这样，我们就可以根据乘数判断乘积缺少什么数字了。我们举个例子：
12345679×68
我们可以先列一个式子：
68-a=9b
其中a为10以内不为3或9且不为0的正整数，b为9的正整数倍。那么，a的取值范围是0a10（a≠3,6,9，a∈N），0b10（b∈N ）
那么，满足这个条件的解：b=7，a=5。
我们根据之前两组式子，可以断定这个式子的乘积所得数缺少数字4。
那么我们能不能直接计算出来结果呢？
也是可以的。我们观察

乘数相隔9，成绩得数顺序一样，位置不同
我们发现，当乘积所得数缺少的数字相同时，这个得数中总有一串数字的顺序是完全一样的，比如上面一组数中“1728395”、“06”这些数字的顺序是一样的，只是位置不一样。那么是什么影响了数字的位置呢？
就是乘积所得数的个位数，用一个式子来讲解下：
12345679×14
我们知道这个式子乘积的个位数一定是6。
首先我们先设定： (0)12345679× 5=(0)61728395为基础式，
在这个式子的乘积中找到6的位置，往后的下一位是1，所以乘积的第一个数就是1，后面直接抄——1728395，抄到最后数字没了，返回到基础式乘积的首位接着抄，就是172839506，也就是12345679×14这个式子的结果了，我们来看一下动图演示：

我们再来验证一下：我们知道乘积所得数缺少数字4的乘数还可以是23，所以我们试着直接写出下面这个式子的结果：
12345679×23

这个乘积所得数的个位数是7，我们根据基础式，找到7后面一位数是2，直接抄28395，后面没有数了，返回基础式乘积的第一个数，注意不要把0忘了，2839506172。这个就是结果，用计算器计算后也是如此。所以乘以68的值是不是也会算了？
我们刚才计算了，缺8数和68的乘积也是缺少数字4。那么，还用上面的基础式，和68相乘的乘积个位数是2，所以乘积我们直接就可以写：839506172。就是这么便捷。
也就是说，对于缺8数而言，只要记住了缺8数乘以10以内不为3、6、9、0的这六个式子的乘积，我们可以直接写出乘数为小于81的任意正整数（不为3或9的倍数）与缺8数的乘积。

那么，对于大于81的数，是否也有规律呢？
当然，我们先来看看9的倍数的规律：

缺8数与乘数为9倍数的部分乘积
如果我们以左侧列的式子为基础式子，我们观察到：乘数为81以内9的倍数，得到的是9个相同的数字，而中间和右侧的式子中，我们把首位和末两位相加，也可以得到9个相同的数字，比如说：12345679× 90=1111111110
这个乘积中，中间是7个1,首位与后两位相加为11，就是9个1。

我们再横向比较：
12345679×9=111111111
12345679× 90=1111111110
12345679×171=2111111109
乘数之间相差81，乘积结果最后都可以凑出9个1。我们大胆推测一下，乘数与基础式子的乘数相差几个81，乘积的首位就是几，然后我们再根据基础式凑出9个相同的数字就可以了。
举个例子：
12345679×369
369中包含4个81，可以写成：369=4×81 45。根据基础式，我们可以知道乘数是45的基础式子，应该包含9个5。有4个81，首位就是4，所以结果就是4555555551。

再比如：
12345679×522
522可以写成：522=6×81 36，所以首位是6，可以凑出9个4，尾数还得是8，于是我们可以写成：6444444438。

9的倍数有规律，那么3的倍数呢？我们随便算一个式子：
12345679×84=1037037036
可以看到，乘积所得数的首位加上后三位也等于037，也能出现“三位一体”的特性。

同样，84中有1个81，所以首位是1，然后我们可以用竖式的方法把尾数后三位算出来：

尾数加上首位就是循环书写的部分，所以就可以写成1 037 037 036
再举个例子：12345679×285
285中有3个81，所以首位是3，用列竖式的方法得到乘积尾数后三位为515，那么重复书写的部分就是518，所以乘积就是3 518 518 515。

那么乘数不是3或9的倍数，且大于81的整数，一定也是有的规律喽！比如：
12345679×122
根据上文我们列个式子：
122-a=9b
此时a的取值范围不变，b的范围变为大于0的整数。那么可以取的的值为a=5，b=13.
先把之前的缺8数乘以5的式子写出来：
(0)12345679× 5=(0)61728395
乘积所得数的个位数为8，122中有1个81，所以首位是1，我们把个位数和首位数相加，得到的数字为实际要在基础式子中查的数字，像这道题，这个数字为9,9的后一位是5，先从5开始抄：5061728，抄到还剩下两位数39时，停一下，因为首位是1，个位数是8，所以把39拆成1和38分别放置首位和末尾，即1506172838。

我们再试一个题：
12345679×512
首先，512有6个81 ，乘积所得数的首位是6；
512-a=9b，解得a=8，b=56
那么，找到缺8数乘以8的基础式子：
(0)12345679× 8=(0)98765432
乘积的个位数是8，8 6=14,所以我们从基础式子中找到4的后一位，也就是从3开始抄， 3209876，还剩下54，首位是6，个位是8，所以，将54拆成6和48，放置首尾，即6320987648。

好了，这就是有趣的缺8数，她还有很多神奇的性质，篇幅有限就不一一介绍了。大家有兴趣可以参考下资料，研究一下。
有的同学可能会问，这个在现实领域又有什么应用呢？还真没有，但是这充分体现了数学的趣味和优美。再说，谁又能保证这些只是简单的巧合呢？这些数字那么神奇，又会不会暗含了自然界乃至宇宙的某些规律呢？所以这不单单是趣味，也可能是人类探索未知的钥匙！

扫描二维码下载数学加app，更多数学课程等你挑选