正弦定理的四种证明方法

正弦定理的四种证明方法

本文核心词：数学,正弦定理,正弦定理的证明方法

正弦定理：在三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。如下图，在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，△ABC的外接圆半径为r，直径为d，那么a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=2r=d。

证法一（作高线）：
过A点作AD⊥BC，交BC于D点，如下图

∴AD/c=sin∠B，AD/b=sin∠C
∴b/sin∠B=c/sin∠C
同理作AC边上的高可得：c/sin∠C=a/sin∠A
∴a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C
证法二（等面积）：

△ABC的面积S=1/2·bcsin∠A=1/2·acsin∠B=1/2·absin∠C
上式同时除1/2·abc即得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C
证法三（作外接圆）：
作△ABC的外接圆O，半径为r，直径为d，连接AO并延长交⊙O于D点，连接CD，如下图

∵同弧所对圆周角相等
∴∠B=∠D，b/sin∠B=b/sin∠D
∵直径所对圆周角为90度
∴b/sin∠B=b/sin∠D=2r=d
同理可得：a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=2r=d
证法四（用向量）：
（1）当△ABC为锐角三角形时，作向量BC、BA、CA以及垂直于BC的向量n（以加粗表示向量），如下图

∵BC CA=BA
∴n·（BC CA）=n·BA（两边同时与n作数量积）
∴n·BC n·CA=n·BA
∣n∣∣BC∣cos90° ∣n∣∣CA∣cos(90°-∠C)=∣n∣∣BA∣cos(90°-∠B)
b sin∠C=c sin∠B
∴b/sin∠B=c/sin∠C
同理可得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C
（2）当△ABC为直角三角形时，不妨令∠B=90°

立即得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=b=2r=d(r为外接圆半径）
（3）当△ABC为钝角三角形时，不妨令∠B为钝角，作向量BC、BA、AC以及垂直于BC的向量n（以加粗表示向量），如下图

∵BA AC=BC
∴n·（BA AC）=n·BC（两边同时与n作数量积）
∴n·BA n·AC=n·BC
∣n∣∣BA∣cos(∠B-90°) ∣n∣∣AC∣cos(90° ∠C)=∣n∣∣BC∣cos90°
b sin∠C=c sin∠B
∴b/sin∠B=c/sin∠C
同理可得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C