究竟什么是导数 关于导数的简要介绍

究竟什么是导数 关于导数的简要介绍

本文核心词：数学,微积分
导言：
对于没有理解导数的同学来说，这篇文章会告诉你导数的具体含义（不会告诉你具体计算方法）

导数示意图
设想有这样一个问题：一辆车在坐标轴上沿x轴运动，其坐标x随时间t的函数为x=t^2(SI)，试求其在t=1s时的速度大小。
我们都知道，速度的定义式是速度=位移/时间，对于这个问题，有以下两个难点：
第一，它的时间是1s这一个时刻的，很显然，如果要让分母等于0，这是不允许的。
第二，它的速度又是在变化的，因此，我们不得不求出这一时刻的速度。
如何求出这一时刻的速度呢？有一种方法，叫做微分法。
何谓微分法，简单说，就是取一个时间段，然后让这个时间间隔逐渐趋于0，那么，如果这个速度趋于一个常数，那么我们说这个速度就叫做这一点的“瞬时速度”
同样，我们先取[1,2]这一时间段，然后逐渐令右端点趋于1，我们可以得到下面这张表格：

随着时间间隔逐渐减小，速度逐渐趋于一个常数
不难看出，当右端点不断趋于1时，速度不断趋于一个常数2，那么，我们就有一个想法：
1s时的瞬时速度应该等于2m/s
我们再从图像上看一下：
对于x=t^2这一函数，不断作[1,t]的割线，令t趋近于1，我们可以看出，所对应的斜率，就是速度。不难知道，当t趋近于1时，割线就变成了切线，通过图像，我们也能大约知道切线的斜率为2.

关于导数的动画演示
因此，我们可以有如下认识：
瞬时速率=瞬时变化率=曲线斜率
因为这三点的计算方法几乎完全一样。
关于导数的严格定义：
所以，我们可以得到如下结论，即导数的严格定义：

导数定义
我们可以认为，右边的极限在几何上，所描述的就是求斜率，或者说，从广义上来看，求的是变化率，即某一个量f随着x的变化率。这个变化率可以有很多实际含义，比如说：速度、加速度、功率（功随时间的变化率）、电流（电荷随时间的变化率）等等。
当然，对于导数，我们还有下面几种记法：

我一般比较喜欢用分式记法，因为这个记法在一定程度上，为“链式法则”提供了直观认识，即：

链式法则
证明过程略，有兴趣的朋友们可以自己到网上查找相关证明。只是注意一点：链式法则的证明并不是简单的这样分式运算，而是由极限和无穷小之间的关系证得。
而关于导数的其他内容（如求导公式、隐函数求导等）我在这里就不讲了，因为任何一本微积分教材里边都会拿出至少一章的内容讲导数，以我手里的教材为例，仅仅是导数（不包括导数的应用，即不包括中值定理、极值、微分等应用）讲了80页。
结语：
导数的出现，为人们解决瞬时变化率问题提供了强有力的方法。除此之外，导数还作为微积分的一部分，通过牛顿-莱布尼茨公式，与积分问题结合起来，进而焕发出新的生命力。